Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Sabiendo que todo numero compuesto puede descomponerse en un producto de factores primos y que esta descomposición  es única, se puede hallar el máximo común divisor (MCD) de dos o mas números. El MCD entre varios números es el mayor de sus divisores comunes. Tomemos como ejemplo dos numeros a =180 y b =84 que descomponemos en factores primos segun la siguiente figura:

Formamos los conjuntos de sus divisores. en la siguiente figura hemos representado esquemáticamente algunos de ellos y vemos k tienen dos divisores comunes de los cuales el mayor es el 12. 

Por tanto  MCD (a,b) = 12; MCD (180,84) = 12.

En la practica para mecanizar el proceso cuando los numeros son grandes el MCD se obtiene como el producto de los factores comunes afectados por el menor de los exponentes.

En ejemplo planteado teníamos a =180 2^{2 .} 7 . 3 tienen como factores comunes el 2 y el 3, el menor de los exponentes del 2 es 2 y el menor de los exponentes del 3 es 1 por tdanto el MCD (180,84) = 2² . 3 = 4 . 3 = 12.

Del mismo modo el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o mas números es el menor de los múltiplos que 

tienen comunes. sean los números a = 24 y b = 8 como en la figura.

Si hacemos una representación de los conjuntos de sus infinitos multiplos de una forma esquemeica como se muestra en la figura en la solo hemos incluido alguno de ellos, se ve que existen algunos múltiplos que son comunes a los dos, zona de intersección, el mcm es el mas pequeño de todos ellos, en nuestro ejemplo mcm = 24. 

Para hallar nuestro mcm de una forma practica se descomponen los números en factores primos.